circuitos RC y RL

Teoría y problemas

Circuitos RL y RC en estado estable
Circuito RL
Supongamos un circuito RL Suponga que se
desea calcular la corriente i(t) que circula por el circuito. De acuerdo con la Ley de
Kirchoff de voltajes, se tiene que
Vmcos(wt) = VR + VC
donde el voltaje en la resistencia R está dado por vR = Ri y el voltaje en la
inductancia está dado por L
v = L di
dt
. Sustituyendo, se obtiene la ecuación del
circuito RL:

Ldi + Ri = Vmcos(wt)
dt
(1.1)
Esto es, el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo está descrito por
una ecuación diferencial de primer orden.
Vmcos(wt)


L
R
i(t)
Figura 1
Para encontrar la solución de la ecuación (1.1); es decir, la corriente que circula
por el circuito debemos considerar primero que dicha corriente debe de tener la
misma frecuencia. Supóngase que la solución tiene la forma
i(t) = I1cos(wt) + I2sen(wt)
Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
76
L[-I wsen(wt) + I wcos(w 1 2 t)] + R[I1cos(wt) + I2sen(wt)] = Vmcos(wt)
agrupando y sacando como factor sen(wt) y cos(wt), se obtiene:
(-LI1w + RI2)sen(wt) + (LI2w + RI1 - Vm)cos(wt) = 0
Para que esto sea cero, se debe de tener que los coeficientes sean cero. Esto es:
-wLI1 + RI2 = 0
RI1 + wLI2 = Vm
Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: I1 e I2. Resolviendo
para I1 e I2 se obtiene que
I1 = R2 R+V wm2L2
I2 = R2w +L Vwm2L2
Entonces, la corriente que circula por el circuito RL está dada por la expresión:
i(t) = Vm [Rcos(wt) + wLsen(wt)]
R2+w2L2
Utilizando la identidad trigonométrica Acosα + Bsenα = A2 + B2cos(α - tan-1-B )
A
,
se obtiene que la corriente está dada por:
i(t) = Vm cos(wt - tan-1 wL )
R2+w2L2 R
(1.2)
Esta expresión de la corriente requiere algunas observaciones:
1. Obsérvese que la amplitud de la corriente
Im= R2V+mw2L2
es una función de
R, L y w. El término w2L2 representa el cuadrado de la reactancia inductiva. La
reactancia inductiva se representa por XL(w) y tiene unidades de Ohms y
representa la oposición de la inductancia al paso de la corriente. A este tipo de
resistencia también se le conoce como impedancia inductiva.
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
77
2. XL = wL, la reactancia inductiva es de hecho una resistencia que se opone al
paso de la corriente, pero es función de la frecuencia. Nótese que XL(w) es cero
en el caso en que L = 0 (esto es, cuando no hay inductancia y el circuito es
puramente resistivo) y cuando w = 0. En este caso, la señal de entrada Vmcos(wt)
= Vm es constante, y es, en efecto, una señal de corriente directa. En cualquier
caso, si XL(w) = 0, el circuito se comporta como un circuito puramente resistivo y la
corriente se reduce a la expresión
i(t) = Vm cos(wt )
R
. En otras palabras, para w =
0, el inductor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente tiene la
misma fase que el voltaje.
3. La impedancia de la inductancia crece con la frecuencia, de tal manera que
para frecuencias muy altas, la impedancia es muy grande y la corriente tiende a
cero. Esto significa que el circuito RL se comporta como un circuito abierto para
frecuencias grandes.
4. La fase de la corriente φ = tan-1 wL
R
se hace cero cuando w = 0, lo que
concuerda con el hecho de que la corriente,
i(t) = Vm cos(wt )
R
, está en fase con el
voltaje.
5. Cuando R = 0, se tiene un circuito puramente inductivo y se tiene que la fase de
la corriente φ = -π/2 y la corriente está dada por
i(t) = Vm cos(wt - π/2)
wL
(1.3)
En este caso, la corriente está atrasada 90o respecto al voltaje. La figura 2a
muestra las señales de voltaje y corriente en un circuito puramente inductivo. La
figura 2b muestra el diagrama fasorial asociado a las señales de voltaje y
corriente.
Figura 2
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
78
Ejemplo. En un circuito puramente inductivo (R = 0), L = 25 mH y el voltaje rms de
la fuente tiene un valor de 110 voltios. Encuentre la reactancia inductiva y la
corriente rms en el circuito si la frecuencia es de 60 Hz.
Solución:
Primeramente, recordemos que w = 2πf = 2 x 3.1416 x 60 = 377s-1. La reactancia
inductiva es entonces
XL = wL = (377s-1)(25 x 10-3 H) = 9.43 Ohms.
La corriente rms es
Irms = VXrmLs
= 110 V
9.43 Ω
= 11.7 A.
Circuito RC
Supongamos un circuito RC como el mostrado en la figura 3 y supongamos que se
requiere obtener la corriente i(t) que circula por el circuito.
Vmcos(wt)
+
-
i(t)
C
R
Figura 3
Para esto, es necesario establecer la ecuación que describe su comportamiento.
De acuerdo con la ley de Kirchoff de voltajes,
Vmcos(wt) = VR + VC
El voltaje en la resistencia VR = Ri(t) y el voltaje en el capacitor VC = q(t)/C. Donde
q(t) es la carga almacenada en el capacitor y C es el valor de la capacitancia. De
acuerdo con esto, la ecuación que describe al circuito RC es
R ddqt + C1 q = Vmcos(wt)
(1.4)
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
79
Donde se ha considerado que la relación entre la corriente y la carga q es i(t) =
dq/dt. Resolviendo esta ecuación mediante un procedimiento equivalente al
utilizado para resolver la ecuación que describe al circuito RL, se obtiene que la
corriente que circula por el circuito está dada por:
-1
i(t) = Vm cos(wt + tan 1 )
R2 + w21C2 wRC
(1.5)
Esta expresión de la corriente que circula por un circuito RC, también requiere
algunas observaciones:
1. Obsérvese que la amplitud de la corriente
Im = R2 +V mw21C2
es una función
de R, C y w. El término 1/w2C2 representa el cuadrado de la reactancia capacitiva.
La reactancia capacitiva se representa por XC(w). A este tipo de resistencia
también se le conoce como impedancia capacitiva.
2. C
X = 1
wC
tiene unidades de Ohms. Es decir, XC es la resistencia que un
capacitor ofrece al paso de la corriente y es función de la frecuencia. Nótese que
XC(w) es cero en el caso en que la frecuencia w es muy grande. Igualmente, la
fase es cero. En este caso, la señal de entrada Vmcos(wt) tiene una frecuencia
muy grande y la impedancia del circuito es puramente resistiva y la corriente que
pasa por el circuito tiene la forma
i(t) = Vm cos(wt )
R
. En otras palabras, para w
muy grande, el capacitor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente
tiene la misma fase que el voltaje.
3. La impedancia del capacitor crece cuando la frecuencia disminuye, de tal
manera que para frecuencias muy bajas, la impedancia es muy grande y la
corriente tiende a cero. Esto significa que el circuito RC no deja pasar señales con
frecuencias pequeñas.
4. La fase de la corriente
φ = tan-1 1
wRC
se hace cero cuando w es muy grande, lo que concuerda con el hecho de que la
corriente,
i(t) = Vm cos(wt )
R
, está en fase con el voltaje.
5. Cuando R = 0, se tiene un circuito puramente capacitivo y la fase de la corriente
φ = π/2 y la corriente está dada por
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
80
i(t) = Vm cos(wt + π/2)
wL
En este caso, la corriente está adelantada 90o respecto al voltaje. La siguiente
figura 4a muestra las señales de voltaje y corriente en un circuito puramente
capacitivo. La figura 4b muestra el diagrama fasorial asociado a las señales de
voltaje y corriente.
Figura 4
Ejemplo. Un capacitor de 8μF se conecta a una fuente de corriente alterna cuyo
valor rms es de 110 voltios. Encuentre la reactancia capacitiva y el valor efectivo
de la corriente que pasa por el capacitor.
Solución: Recordemos que para una señal de 60 Hz, w = 377s-1. La reactancia
capacitiva es entonces
XC=w1C
= 1
(377s-1)(8.0 × 10-6F)
= 332 Ohms.
La corriente efectiva a través del capacitor es
Irms = VXrmCs
= 110 V
332 Ω
= 0.33 A.
Energía almacenada en un capacitor y en una inductancia
La energía en un capacitor
La corriente y el voltaje en un capacitor están relacionados mediante la ecuación
i = C dv
dt
donde C es la capacitancia (medida en Faradios), i es la corriente que pasa por el
capacitor y v es el voltaje medido a través de sus terminales. El capacitor es un
elemento lineal cuya característica principal es su capacidad para almacenar
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
81
energía en forma de campo eléctrico. De hecho, el capacitor se puede visualizar
como un recipiente al que le agregamos cargas o energía hasta un límite mas allá
del cual cualquier cantidad adicional desborda el límite. Despejando el voltaje v de
la ecuación anterior, se obtiene
0
0
v(t) = 1 t idt + v(t )
C t
∫
La potencia entregada al capacitor es
p = vi = Cv dv
dt
La energía almacenada por el capacitor
0 0
t v(t)
C
t v(t )
w = ∫ pdt = C ∫ vdv (1.6)
haciendo la integral y evaluando, se obtiene la energía almacenada en el capacitor
2 2
C 0
w = 1 C[v (t) - v (t )]
2
(1.7)
Cuando el capacitor está descargado inicialmente, v(t0) = 0.
Las características más importantes de un capacitor son las siguientes:
• Si el voltaje a través de sus terminales es constante en el tiempo, la corriente
a través del capacitor es cero. Esto es, el capacitor se comporta como un
circuito abierto para corriente directa.
• El capacitor puede almacenar una cantidad finita de energía.
• Es imposible que cualquier pequeño cambio en voltaje en un capacitor ocurra
en un tiempo cero.
• Un capacitor no disipa energía, solo la almacena.
La energía en una inductancia
La corriente y el voltaje en un inductor están relacionados mediante la ecuación
L
v =Ldi
dt
donde L es la inductancia (medida en Henries), i es la corriente que pasa por la
inductancia y vL es el voltaje medido a través de sus terminales. La inductancia es
un elemento lineal cuya característica principal es su capacidad para almacenar
energía en forma de campo magnético. Despejando la corriente i , de la ecuación
anterior, se obtiene
0
t
0
t
i(t) = i(t ) + 1 vdt
L ∫
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
82
La potencia entregada a la inductancia es
p = vi = Li di
dt
La energía almacenada por la inductancia está dada por
0 0
t i(t)
L
t i(t )
w = ∫ pdt= L ∫ idi .
Integrando se obtiene
2 2
L 0
w = 1L[i (t) - i (t )]
2
(1.8)
Las características más importantes de una inductancia son las siguientes:
• Si la corriente que pasa por la inductancia es constante en el tiempo, el voltaje
a través de sus terminales es cero. Esto es, la inductancia se comporta como
un corto circuito para corriente directa.
• La inductancia puede almacenar una cantidad finita de energía.
• Es imposible que cualquier pequeño cambio en la corriente que pasa por una
inductancia ocurra en un tiempo cero.
• Una inductancia ideal no disipa energía, solo la almacena.
Resumen de propiedades de la resistencia, inductancia y capacitancia.
elemento Resistencia Inductancia Capacitancia
Relación entre
voltaje y corriente
R v = Ri
L
v = L di
dt
C
i = C dv
dt
Oposición al paso
de la corriente
R
wL
1
wC
Energía almacenada
0
1 Cv2
2
1 Li2
2
Problemas con circuitos RL
Problema 1. Según la figura mostrada, (a) grafique VL como una función del
tiempo 0 < t < 50 ms; (b) encuentre el valor del tiempo en el que el inductor esta
absorbiendo una potencia máxima; (c) encuentre el valor del tiempo en el que el
inductor proporciona una potencia máxima, y (d) encuentre la energía almacenada
en el inductor en t = 40 ms.
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
83
10 20 30 40 50 t(ms)
iL(A) 0.2H
+ vL -
iL
5
-5
Problema 2. En un circuito puramente inductivo, como el mostrado en la figura
Vmax = 100 V. (a) Si la corriente máxima es 7.5 A para una frecuencia de 50 Hz,
calcule el valor de la inductancia.
Problema 3. Cuando cierta inductancia se conecta a una fuente de voltaje alterna
con una amplitud de 120 V, una corriente pico de 3.0 A aparece en el inductor. (a)
¿Cuál es la corriente pico si la frecuencia del voltaje aplicado se duplica? (b)
¿Cuál es la reactancia inductiva para las dos frecuencias?
Problema 4. (a) ¿Si en el circuito del problema 1, L = 310 mH y Vmax = 130 V, a
que frecuencia la reactancia inductiva es igual a 40.0 Ohms? (b) Calcular la
corriente máxima a través del inductor a esa frecuencia.
Problema 5. Para el circuito del problema 1, Vmax = 80.0 V, w = 65 π rad/s, y L =
70.0 mH. Calcular la corriente por el inductor en t = 15.5 ms.
Problema 6. Una inductancia de 20.0 mH se conecta a una salida estándar (Vrms =
120 V, f = 60 Hz). Calcular la energía en la inductancia en t = (1/180) s,
suponiendo que la energía en t = 0 es cero.
Problemas con circuitos RC
Problema 7. La corriente con la forma de onda que se muestra en la figura se
aplica a un capacitor de 2 mF para t > 0. Suponiendo que Vc(0) = 250 V , (a)
Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
84
Construya una gráfica del voltaje en el capacitor como una función del tiempo para
t > 0. (b) ¿durante qué periodo el valor de Vc está entre 2000 y 2100 V?
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t(s)
iC(A)
etc
Problema 8. Un capacitor de 1000 μF se conecta a una salida estándar (Vrms =
120 V, f = 60 Hz). Determine la corriente que pasa por el capacitor en un tiempo t
= (1/180) s, suponiendo que en t = 0, la energía almacenada en el capacitor es
cero.
Problema 9. ¿Qué corriente máxima es entregada por un capacitor cuando se
conecta a (a) una salida americana que tiene Vrms = 120 V, f = 60 Hz, y (b) una
salida Europea que tiene Vrms = 240 V, f = 50 Hz?
Problema 10. ¿Qué corriente máxima es entregada por un generador de CA con
Vmax = 48 V y f = 90 Hz cuando se conecta a través de un capacitor de C = 3.7 μF.
Problema 11. El generador en un circuito de CA puramente capacitivo, como el
que se muestra en la figura, tiene una frecuencia angular de 100 π rad/s y vmax =
220 V. Si C = 20.0 μF, ¿Cuál es la corriente en el circuito en un tiempo t = 4.0 ms?
Problema 12. Un capacitor de 98.0 μF se conecta a una fuente de poder que
genera 20.0 Vrms a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es la máxima carga que
aparece cualquiera de las placas del capacitor?